Optimisation énergétique d'un bâtiment

Une entreprise étudie deux systèmes de chauffage pour un nouveau bâtiment. Elle modélise le coût global de chaque système en fonction de son temps d'utilisation `x` en années de la manière suivante.

Système A - Pompe à chaleur

• Coût d'installation : 25 000 €.
• Évolution : prix de l'électricité stable mais efficacité qui diminue avec l'âge.
• Modélisation du coût global : `f(x) = 25000 + 2100x + 4x²`. 
  

Système B - Chaudière à gaz

• Coût d'installation : 8 000 €.
• Évolution : prix du gaz en forte hausse + vieillissement mécanique important.
• Modélisation du coût global : `g(x) = 8000 + 2100x + 6x² + 0,5x³`.

Le nouveau système équipera le bâtiment pour une durée de 30 ans.

Problématique : à partir de combien d'années le coût d'utilisation du système A sera-t-il égal à celui du système B ?

1. À quel intervalle appartient `x` représentant la durée d'utilisation du système ?

2. À l'aide de la calculatrice NumWorks, tracer la fonction `f(x)` modélisant le coût global du système A en fonction du temps.

Coup de pouce 1 : une perle est là pour vous aider à tracer une fonction !

a. Au bout de 5 années d'utilisation (`x=5`), combien aura coûté le système A ?
b. Au bout de combien d'années le système A aura coûté plus de 80 000 € ?

3. À l'aide de la calculatrice NumWorks, tracer la fonction `g(x)` modélisant le coût global du système B en fonction du temps.

a. Au bout de 5 années d'utilisation (`x=5`), combien aura coûté le système B ?
b. Au bout de combien d'années le système B aura coûté plus de 80 000 € ?

4. Au bout de combien d'années le coût d'utilisation de la pompe à chaleur sera égal à celui de la chaudière à gaz ?

Coup de pouce 2 : une perle est là pour vous aider à trouver l'intersection de deux fonctions !